\subsection{二元一次方程组}\label{subsec:5-2}

我们再来看下面的问题：

有甲、乙两个数， 甲数的 3 倍比乙数的 2 倍多 11 ，甲数的 2 倍与乙数的 3 倍的和是 16 ， 求甲、乙两数。

这个问题， 用设一个未知数列一元一次方程的方法来求解， 比较困难。
如果设两个未知数， 例如设甲数是 $x$，乙数是 $y$， 那么就可以列出下面两个二元一次方程：
\begin{gather}
    3x - 2y = 11 \douhao \\
    2x + 3y = 16 \juhao
\end{gather}

上面的问题就是要求出既适合方程 (1)， 又适合方程 (2) 的 $x$ 与 $y$ 的值，也就是求出这两个方程的公共解。

把这两个方程变形，用含有 $x$ 的代数式表示 $y$ ， 得
\begin{gather}
    y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{2} \douhao \\
    y = \dfrac{16}{3} - \dfrac{2}{3}x \juhao
\end{gather}
从 (3) 可以求得方程 (1) 的一些解
$$
    \begin{cases}
        x = 0\douhao \\
        y = -\dfrac{11}{2}\douhao
    \end{cases}\quad
    \begin{cases}
        x = 1\douhao \\
        y = -4\douhao
    \end{cases}\quad
    \begin{cases}
        x = 5\douhao \\
        y = 2\douhao
    \end{cases}\quad
    \cdots
$$
从 (4) 可以求得方程 (2) 的一些解
$$
    \begin{cases}
        x = 3\douhao \\
        y = \dfrac{10}{3}\douhao
    \end{cases}\quad
    \begin{cases}
        x = 5\douhao \\
        y = 2\douhao
    \end{cases}\quad
    \begin{cases}
        x = 7\douhao \\
        y = \dfrac{2}{3}\douhao
    \end{cases}\quad
    \cdots
$$
可以看出，其中的
$$\begin{cases}
    x = 5\douhao \\
    y = 2
\end{cases}$$
即是方程 (1) 的一个解，又是方程 (2) 的一个解，所以它就是这两个方程的公共解。

上面所说的，可以用图 \ref{fig:5-1} 来表示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds2-ch5-1}
    \caption{}\label{fig:5-1}
\end{figure}

由几个方程组成的一组方程，叫做\zhongdian{方程组}。
由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做\zhongdian{二元一次方程组}。
例如，上面的方程 (1)， (2) 合在一起，就组成一个二元一次方程组，记作
$$\begin{cases}
    3x - 2y = 11 \douhao \\
    2x + 3y = 16 \juhao
\end{cases}$$

本章中所说的二元一次方程组，都是指由两个一次方程组成的二元一次方程组。

方程组里各个方程的公共解，叫做这个\zhongdian{方程组的解}。
例如，上面的方程 (1)， (2) 的公共解
$$\begin{cases}
    x = 5 \douhao \\
    y = 2
\end{cases}$$
就是方程组
$$\begin{cases}
    3x - 2y = 11 \douhao \\
    2x + 3y = 16
\end{cases}$$
的解。

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是。为什么？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\begin{cases}
                x + 3y = 5, \\
                2x - 3y = 3;
              \end{cases}$}
            & \xxt{$\begin{cases}
                    x + 3y = 6, \\
                    x^2 - y^2 = 8;
                \end{cases}$} \\
        \xxt{$\begin{cases}
                x + 3y = 9, \\
                y + z = 7;
              \end{cases}$}
            & \xxt{$\begin{cases}
                    x + 3y = 5, \\
                    xy = 2;
                \end{cases}$} \\
        \xxt{$\begin{cases}
                x + 3y = 3, \\
                \dfrac{x}{6} + \dfrac{2y}{3} = 1;
              \end{cases}$}
            & \xxt{$\begin{cases}
                x + 3y = 2, \\
                \dfrac{6}{x} - 2y = 3 \juhao
            \end{cases}$}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{（口答）在
    $\begin{cases}
        x = 1, \\
        y = -1,
    \end{cases}$ \quad
    $\begin{cases}
        x = 2, \\
        y = 1,
    \end{cases}$ \quad
    $\begin{cases}
        x = 4, \\
        y = 5
    \end{cases}$
    三对数值中，哪一对是下列方程组的解？
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt[18em]{
        $\begin{cases}
            2x - y = 3 \douhao \\
            3x + 4y = 10 \fenhao
        \end{cases}$
    }{
        $\begin{cases}
            y = 2x - 3 \douhao \\
            4x - 3y = 1 \juhao
        \end{cases}$
    }

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{根据已知条件，求出 $y$ 的值；分别填入下列各图的右圈里，并找出方程组
    $$\begin{cases}
        y = 3x \douhao \\
        y - 2x = 1
    \end{cases}$$
    的解。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds2-ch5-subsec1-lianxi-3}
    \caption*{（第 3 题）}
\end{figure}

\end{xiaotis}


